MATEMATİK VE MATEMATİKÇİLER

_ Nurettin Çalışkan

Hiç kimsenin benden daha fazla değer veremeyeceği
matematiğin, bir düşmanı, bir muhalifi olmayla suçlandığımı
duyuyorum. Onun başarılı gelişimi beni yalanlıyor.
GOETHE

Newscientist dergisinin 1390. sayısında "Matematikçiler neden egzantriktir" başlıklı bir yazı yayınlandı. Yazının ilk başlarında matematikçilerin görünümleriyle ilgili olarak, "Amerika'da yapılan bir araştırma"dan söz ediliyor ve 56 matematikçinin özellikleri şöyle sıralanıyordu. 52'si erkek, 32'si gözlüklü, 5'i kel, 4'ü sakallı, 2'si normalden uzun, 2'si normalden kısa. Bu 56 kişilik gurup temel alınıp matematikçilerin bir portresi çizilmeye çalışıldığında, matematikçilerin orta boylu, gözlüklü, sakalsız erkekler olduğu ortaya çıkar. Bu görüntü, düşünülenden farklı şekilde oluşsa da, matematikçilerin dışarıdan gözlemlenen bazı özelliklerinin doğru olduğu görülebilir.

Örneğin, matematikçiler unutkan insanlardır. Eğer öyle olmadıklarını söylüyorlarsa, bunun nedeni unutkan olduklarını unutmalarındandır. Pek kolay ikna olmazlar, hatta çoğu zaman giriştikleri tartışmalarda konuya hakim kişileri bile ikna ettikleri görülebilir. Yaşamlarını matematik üzerine kurarlar. Televizyon seyrederken, yemek yerken ve hatta tuvalette bir sorunun çözümü üzerine düşünürler. Oturdukları yerden kalktıklarında, matematiksel işlemlerle dolu bir peçete yada bir tomar kağıt bırakırlar arkalarında. Belki de bu nedenlerle yalnızlığı tercih ederler.

Bir doktor, bir avukat ve bir matematikçi evlenmek ile metres sahibi olmanın arasındaki avantajları konuşuyorlarmış.
Avukat- Metres sahibi olmak daha iyidir. Evliyseniz ve boşanmak isterseniz, bir sürü yasal sorunla karşılaşırsınız.
Doktor- Güvenli bir seks yaşamı için evli olmak her zaman daha iyidir.
Matematikçi- İkinizde yanlışsınız. En iyisi ikisine birden sahip olmaktır. Karınız metresinizle, metresiniz karınızla olduğunuzu düşünürken siz matematikle uğraşabilirsiniz.

Matematikçiler soyut düşünür, problemin çözümü için soyut anlamda ideal ortamları oluşturur ve bu ortama özgü koşulların varlığında problemi çözerler. Onlar için "farz etmek" önemlidir.

Bir matematikçi, bir fizikçi ve bir kimyacı ıssız bir çöle düşerler. Umutsuzca yollarını ararlarken karınları acıkır. Yanlarında yiyecek konserveleri vardır ama konserveleri açacak herhangi bir alet bulamazlar. Fizikçi ve kimyacı bilgi ve tecrübelerini kullanarak konservelerini açmayı becerirler. Matematikçi ise, konservenin açık olduğunu farz etmekten öteye gidemez.

Matematikçi varolan durumu inceler, analiz eder ve yorumlar. Bunların ötesinde ki pratiğe uygulanabilirlik onların işi değildir.

Bir matematikçi, bir fizikçi ve bir kimyacı bir otelin aynı katında farklı odalarda kalırlar. Akşam olup ta odalarında yatmaya hazırlandıklarında, kimyacı bir duman kokusu hisseder. Dışarı çıkıp baktığında katlarındaki yangını görür. Kısa bir uğraştan sonra yangını söndürdüğünü düşünüp odasına gider.İkinci defasında kokuya fizikçi uyanır. Kendi yöntemleriyle yangını söndürür ve odasına çekilir. Her defasında yeniden ortaya çıkan yangını en son matematikçi fark eder. Odasından çıkıp olay mahalline geldiğinde etrafı kolaçan eder. Bir tarafta yangını diğer tarafta yangın söndürme aletlerini gördükten sonra, "bir çözümü var" diyerek yatmak için odasına doğru yol alır.

En genel tanımıyla teorem, verilen varsayımlara dayanarak, kanıtlanması gereken bir hükümden oluşan önermedir. Her teorem bir hipotez ve hükümden oluşur. Teoremin kanıtında, hipotezlerden yola çıkılarak, kanıtlanmadan kabul edilen önermeler -aksiyomlar- ve önceden kanıtlanmış teoremler kullanarak, hükme ulaşılır.

Bir mühendis, bir fizikçi ve bir matematikçi, trenle seyahat ediyorlarmış. Afyon'dan geçerken trenini penceresinden bir siyah koyun görmüşler.
Mühendis "Afyon'un koyunları siyahmış" der. Fizikçi "Afyon'un koyunlarının bazıları siyah demek istiyorsun herhalde" diyerek mühendisin söylediğini düzeltir. Matematikçi ise " hayır," der "bütün bildiğimiz Afyon'da en az bir koyun var ve bu koyunun en az bir tarafı siyah."

Bir maymun sürekli daktilonun tuşlarına basarak Hitler'in Kavgam adlı eserini yazabilme olasılığı nedir? Bu maymunun ölmediğini, yeme içme gibi ayrıntılara bulaşmadığını düşünün. Sakın böyle bir maymun olamaz deyip, soruyu yanıtlamaktan kaçınmayın. Bir matematikçi olarak böyle bir maymunun varolduğunu kabul edebiliriz.
Sorunun yanıtı, olasılıklar dilinde, 1 dir. Yani maymun bu eseri sonunda mutlaka yazmayı başarır.

İdris askere çağırılır.İlk yoklama için askeriyeye giderken yolda Temel ile karşılaşır. Olan biteni Temel'e anlattığında, Temel
"İki koşul var; ya çürüğe alınırsın ya da askere çağırırlar. Çürüğe alınırsan ne ala, askere alınırsan iki koşul var; ya askerliğin süresince hiç savaş olmaz, ya da bir savaş patlak verir. Savaş olmazsa iyi de, çıkarsa iki koşul var; ya geri planda görevlendirilirsin, ya da öncü birliklere katılırsın. Geride görev alırsan iyide, öncü olursan iki koşul var; ya sağlam kalırsın, ya da yaralanırsın. Sağ-salim dönmen iyi de, yaralanırsan iki koşul var; ya gazi olursun ya da şehit. Gazi kalman iyi de, şehit olursan seni devlet töreni ile gömerler ve bir süre sonra vücudun toprağa karışır. Sonrasında ya bir ot olarak dünyaya gelirsin ya da ağaç, ot olursan iyide ağaç olursan iki koşul var; yıllar sonra ya odun olursun ya da kağıt olmak üzere SEKA'ya gönderilirsin. Odun olursan iyide SEKA'ya gönderilirsen iki koşul var; ya mukavva olursun ya da kağıt. Mukavva olursan sorun yokta kağıt olursan iki koşul var; ya karalama kağıdı olursun ya da tuvalet kağıdı. Karalama kağıdı olursan bir şey diyemem ama tuvalet kağıdı olursan yedin boku."

Matematiğin mantığın bir dalı olduğu düşünülür, bunun tersini söyleyenlerde vardır. Bertrand Russel'e göre ise "Matematik ve Mantık bir ve aynı şeylerdir".

Temel sonunda bir ev sahibi olmuştur. Kocaman evini dayayıp döşer ama, salonunda büyük bir yer kaplayan kütüphanesi boş durmaktadır. Kütüphaneyi doldurmak için kitapçıya gider. Kalın, bordo renkli kitapların ne olduğunu sorduğunda "ansiklopedi" yanıtını alır. Kitapların güzel görüneceğini düşünerek alır. Hemen alt rafta yer alan mavi renkli kitapların, aldığı diğer kitaplarla uyumlu olduğunu, takımının renklerini de oluşturacağını düşünür ve kitapçıya ne ile ilgili olduklarını sorar. "Mantık" cevabını aldığında ise mantık konusunda bilgi edinmek ister. Kitap satıcısı açıklamak için farklı bir yöntem kullanır.
- Sizin evde akvaryum var mı?
- var.
- O halde sen denizi seviyorsun?
- evet.
- plaja gidiyorsun?
- evet.
- bikinili kadınları seyretmekten zevk alıyorsun?
- evet
- o halde sen ibne değilsin.
Bu konuşmadan sonra Temel, mavi renkli "mantık" kitaplarını da alır.
Temel'in evini ziyarete gelen Dursun'un kütüphane ve kütüphanedeki kitaplar dikkatini çeker. Dursun'un mavi kitaplar hakkındaki sorusu üzerine, kitabın içeriğini açıklamaya çalışan Temel, Dursun'a sorar
- Sizin evde akvaryum var mı?
- yok
- o halde sen ibnesin!

Çoğu zaman matematiksel çıkarımların mantığa uymadığını görürüz

Bir fizikçi, bir biyolog ve bir matematikçi kafeye oturmuş dışarıyı gözlüyorlardı. Karşılarında ki eve iki kişi girdi, bir süre sonra üç kişi çıktı.
Fizikçi, “bu örneğin göz önüne alınamayacağını değerlendirmenin yanlış olacağını” söylüyordu.
Biyolog, “çoğalmanın süz konusu olduğunu” belirtiyordu,
Matematikçi ise “içeriye bir kişi girdiğinde içeride kimse kalmayacak yorumunu” yapıyordu.

Matematiksel çıkarımlar mantığa uysa bile, ‘işe yararlığı’ tartışılabilir

Üç kişi balonla seyahat ediyorlardı. Bir kanyona geldiklerinde kaybolduklarını hissettiler. Aralarında biri ‘Bir fikrim var, yardım isteyebiliriz kanyonda sesimiz yankılanır ve sesimizi uzaklara taşır’ dedi ve balonun sepetinden eğilerek bağırdı. ‘heyyyy, biz nerdeyiz?’
Aradan 15 dakika geçtikten sonra yankılanan bir ses duydular ‘ kayboldunuz …’
Bunun üzerine balondakilerden biri, ‘bu bir matematikçi olmalı’ diyordu.
Diğerleri niye böyle dediğini sorduğunda
‘ üç nedenim var..
İlki; çok geç yanıt verdi.
İkincisi; kesinlikle haklı
Ve üçüncü olarak ta; yanıtı hiçbir işe yaramaz..’


Ve tabi bazen ‘işe yararlılık’ için matematikten vazgeçilebilir!

Bir işletmeye hesap uzmanı alınacaktı. Gazeteye verilen ilan sonucu iş için bir matematikçi, bir fizikçi ve bir muhasebeci başvuruda bulundu.
Mülakatta üçüne de aynı soruyu sordular;
İki kere iki kaç eder?
Matematikçi duraksamaksızın dört yanıtını verdi.
Fizikçi hata payıyla sonucun yaklaşık 4’e eşit olduğunu söylüyordu.
Muhasebecinin yanıtı ise jürinin yüzünü güldürten cinstendi
Siz kaç olsun istersiniz?

Matematiği bütün diğer disiplinlerden ayıran özellik, kesinliğidir. Gündelik yaşamda bile bir görüşün kesinliğini vurgulamak için yine matematikten yararlanılır. "İki kere ikinin dört ettiği kadar kesin".

Temel eğitim fakültesinden mezun olduktan sonra, öğretmen olarak memleketi olan Trabzon'un Tonya ilçesine atanır.
Derse girdiği ilk gün öğrencilerin bilgilerini sınamak için bir soru sorar.
- Dört kere dört kaç eder?
Sınıfta bütün eller havadadır. Temel öğrencinin birine söz verir.
- 40 öğretmenim.
Temel bu yanıt üzerine sinirlenir, ve söyle der
- Dört kere dört on altı, bilemedin on yedi, kırkta nerden çıktı.

Matematiksel doğrular göreceli değildir. Çoğunluğun onayladığı şey doğru olmaya bilir.

Temel ne kadar çabalasa da matematik dersinden bir türlü başarılı olamaz. Babasının sorması üzerine de matematik öğretmeninin kendisine taktığını, çok çalıştığı halde öğretmenin çalışmasını tam değerlendirmediğini söyler. Bunun üzerine baba okula uğrar ve Temel’in öğretmeni ile görüşür. Oğlunun çok çalıştığını, ama bir türlü başarıya ulaşamadığını söyler. Öğretmen isterse, Temel’in Avni Aker stadında binlerce kişinin önünde sınava girebileceğini söylemesi üzerine öğretmen öneriyi kabul eder. Avni Aker stadını binlerce insan doldurur. Öğretmen ilk soruyu sorar;
7 kere 7 kaç yapar?
Temel beklemeden yanıt verir ‘49’
Bunun üzerine statta bulunan insanlar bağırmaya başlarlar
“Bir şans daha ver”.

Fizik, Kimya, Biyoloji gibi bilim dallarında kanıtlar deneylere dayanır. Teori laboratuarlarda test ve deneylerle kanıtlandıktan sonra oluşturulur. Matematikte ise durum farklıdır. Matematiksel önermelerin kanıtlarında aksiyomlar ve daha önce doğruluğu kanıtlanmış teoremler kullanılır.

Bir matematikçi ve bir mühendise aşağıdaki soru sorulmuş,
- Yanan bir evin yanından geçiyorsunuz, bir yangın musluğu ve musluğa bağlı olmayan bir hortum gördünüz. Ne yaparsınız?
Mühendis: Hortumu yangın musluğuna takarım, suyu açarım ve yangını söndürürüm.
Matematikçi: Hortumu yangın musluğuna takarım, suyu açarım ve yangını söndürürüm.
İkinci soru biraz değiştirilmiş;
- Bir evin yanından geçiyorsunuz, bir yangın musluğu ve musluğa bağlı bir hortum gördünüz. Ne yaparsınız?
Mühendis: Bir sorun olmadığı için yürümeye devam ederim.
Matematikçi: Hortumu yangın musluğundan çıkarırım ve evi ateşe veririm, böylece problem daha önce
çözülmüş bir şekle indirgenmiş olur...


Sonsuzluk, birçoğumuz için anlaşılması güç bir kavramdır. Üç boyutu algılayabiliriz ama, sonrasında halellerimiz yetmez oluverir. Matematikte ise sonlu boyutta oluşturulan problemlerin bir çoğu çözüme ulaştırılmıştır.

Bir matematikçi ve bir mühendis, bir fizikçinin sunduğu seminere katılırlar. Seminerin konusu, 11 boyutlu uzaylarda oluşan fiziksel olaylarla ilgili Kulza-Klein teorisi ile ilgilidir. Mühendis seminer boyunca sıkıntılı anlar geçirirken, matematikçi keyifle semineri izler. Seminer sonunda mühendis matematikçiye yaklaşarak, böylesi karmaşık bir konuyu nasıl olup ta anladığını sorar.
Matematikçi: Yalnızca işlemleri göz önüne getirdim.
Mühendis: 11 boyutlu uzayda oluşan şeyleri nasıl göz önüne getirdiniz?
Matematikçi: Kolay, önce N-boyutlu uzayda düşündüm sonrada N yerine 11 koydum.

Matematikçiler için sonsuz, her sınırı aşan, her sonludan büyük olan ve sonu gelmeyen anlamında kullanılır.

İki matematikçi uçakla Ankara’dan İstanbul’a yolculuk ediyorlarmış. Uçak havalandıktan kısa bir süre sonra motorlardan biri arızalanmış. Pilot, “dört motorlardan birisi arızalanmıştır, geride kalan üç motor sağlam durumdadır, ama yolculuğumuz bir saat yerine bir buçuk saat sürecektir” der. Kısa bir süre sonra ikinci motorda arıza yapar. Pilot “ ikinci motorda arıza yapmıştır. Kalan iki motorla uçuşumuza devam ediyoruz. Yolculuğumuz iki saate çıkmıştır” diye anons yapar. Bir süre sonra üçüncü motorunda bozulması üzerine, pilot durumu yolculara bildirir ve yolculuğun üç saat süreceğini belirtir. Bunun üzerine matematikçilerden biri diğerine “umarım son motorda bozulmaz, yoksa sonsuza kadar havada kalacağız” der.


İstatistik, bilimsel yöntemler kullanarak verileri toplar, düzenler, özetler, analiz eder, yorumlar ve uygun kararlar verilmesini sağlar.

Havada ki bir uçağın bombalanması olasılığı üzerine çalışan ve uçaklardan çok korkan bir istatistikçi ile bir sempozyumda karşılaşan arkadaşı “tren yolculuğunuz nasıl geçti?” diye sorar. İstatistikçi uçak ile yolculuk yaptığını söyler. Arkadaşının uçak yolculuğundan korkusunu nasıl yenebildiğini sorması üzerine, istatistikçi “havada ki bir uçağın bombalanması olasılığı 1/1 000 000 dir. İki bombanın aynı uçağa isabeti ise (1/1 000 000)x(1/1 000 000) buda yeterince küçük bir rakam, kendi bombamı yanımda getirdim, böylece uçağa bindim” yanıtını verir.

Olasılık, bir deney sonunda çıkması muhtemel olayların, çıkma şansını inceleyen bir bilim dalıdır.

Çoktan seçmeli, test şeklinde verilen bir istatistik sınavında öğrencilerden birisi bir demir parayı havaya fırlatıp yakalamasının ardından yanıtı işaretlemektedir. Bu davranış dersin hocasının dikkatini çeker. İki saatlik sınavın bitimine yakın bir sürede bütün öğrenciler kağıtlarını verip sınıftan çıkarlar, ama bizim öğrenci hala yazı tura atarak soruları yanıtlamaya devam etmektedir. Hoca, öğrencinin yanına gelir “sanırım sınava yeterince hazırlanmadın, yinede bu yöntemle çok daha önce sınavı bitirmiş olmalıydın” der. Öğrenci yazı tura atmaya devam ederek “yallızca çözümümün doğruluğunu kontrol ediyorum” yanıtını verir.

Paradokslar kendi içinde çelişkili önermelerdir. Bir Giritlinin "bütün Giritliler yalancıdır" sözünü sarf etmesi bir paradoks oluşturur. En önemli paradoksları M.O. 5. yüzyılda yaşamış olan Elea'lı Zenon ortaya atmıştır. Zenon'a göre Aşil ile kaplumbağa yarışında, Aşil biraz önde yarışa başlayan kaplumbağanın bulunduğu yere vardığında kaplumbağa daha ileride olacaktır. Dolayısıyla, Aşil kaplumbağayı hiç bir zaman yakalayamayacaktır. Zenon'un ikinci paradoksu ise yayından fırlatılan bir okun hiç bir zaman hareket etmediğidir. Bu konudaki Zenon söyle der: "Siz okun uçtuğunu sanıyorsunuz. Oysa uçmak için art arda dizilmiş birçok noktaları aşmak, bunları aşmak içinse bu noktaları birer birer kaplamak gerekir. Bu noktayı kaplamak, durgun olmaktır. öyleyse ok durgundur ve devim bir görünüşten, duygularımızın aldatışından başka bir şey değildir."

Bir mühendis ve bir matematikçi yarışa katılırlar. Bulundukları yerden 100 metre ileriye bir güzel kız konulur ve yarışmacılardan bir önceki attıkları adımların yarışını atma koşulu ile kızı öpmeleri istenir. Kızı ilk öpen yarışı kazanacaktır.
Yarış başladığında mühendis adımlarını atarken, matematikçi yerinde hareketsiz kalır. Matematikçiye, neden başlamadığı sorulduğunda, nasıl olsa ulaşamayacağını söyler. Mühendise matematikçinin yorumu iletilerek kendi yorumunu sorduklarında ise kızı öpecek kadar yaklaşmasının yeterli olacağını söyler.

Bazı insanlar çevrelerinde ki şeyleri sayma gibi bir alışkanlığa sahiptirler... Kaç basamak çıktılar, kaç telefon direği geçildi, kaç adet parke var gibi... Bazılarında bu hastalık düzeyindedir. Bu tür hastalara "obsesif" adı verilir. Obsesiflerin iyi birer matematikçi oldukları söylenemez belki ama, matematikçilerin (özellikle bazı dallarda çalışanların) obsesif olduğu söylenebilir.

Aynı kompartımanda seyahat eden iki kişiden biri sürekli dışarı bakarak mırıldanıyormuş.
Karşısında oturan adam dayanamayıp sormuş.
- Af edersiniz sürekli dışarı bakıp mırıldanıyorsunuz. Ne yaptığınızı merak ettimde.
- Ben matematikçiyim. Gördüğüm her şeyi sayıyorum, ormandaki ağaçları, uçuşan kuşları, hayvan sürülerini....
- Peki, benim ilerde bir sürüm var, içinde kaç koyun olduğunu da biliyorum. Bakalım doğru sayıyı bulabilecek misiniz?
Sürünün yanından geçerken matematikçi bir süre mırıldanmış ve sonra "75 koyun bir de köpek var" demiş.
Şaşkınlığı geçtikten sonra "bunu nasıl yaptınız?" diye soran adama ise, "bacakları saydım ve dörde böldüm" yanıtını vermiş.

Dustin Hofmann'in "Rain Man" filmini izleyenler hatırlayacaklardır. Filmde Hofmann, insanlardan uzak, bir hasta hanede bakıma muhtaç şekilde yaşayan bir otistiği canlandırıyordu. Rain man'ın bir özelliği vardı, sayıları ve şekilleri aklında tutabiliyordu. Toplumsal yaşamdan uzak, "farklı" davranan rain man'ın bu özelliğini kardeşinin keşfetmesi sonucu, yeteneğini kumarhanelerde kullanıyordu.
Bu örneğe bakıldığında, matematikçiler ve otistizmin arasında bir ilişki oluşturula bilinir mi?

İki otistik kardeş doktorun gözetimindedir. Doktor bu iki kardeşin kendi aralarında bir oyun oynadıklarını fark eder. İkiz kardeşler, sürekli olarak bir öncesinden daha büyük altı basamaklı sayılar söyleyerek karşılıklı gülüşürler. Doktor araştırması sonucunda bu sayıların asal sayılar olduğunu görür. Kendiside bu oyuna girmeyi planlar ve yedi basamaklı bir asal sayı söyleyerek oyuna katılır. İkiz kardeşlerin ilk tepkisi şaşkınlıktır, sonrasında ise üçü birden gülmeye başlar. Kısa bir süre sonra kardeşlerden birinin yedi basamaklı, daha büyük bir sayı söylemesiyle oyuna devam edilir. Doktor,ancak kitapların yardımı ile oyuna katılmaktadır, ama bir süre sonra ikizlere yetişemez durumda kalır.

Asal sayıları veren genel bir formül var mıdır bilinmiyor, varsa da henüz böyle bir formül bulunmuş değil. Bu otistik kardeşler, asal sayıları veren bir formül bulmuş olabilirler mi?

Bir matematikçiye sorulan soruların başında "matematikte hala çözülmemiş problemler var mı?" sorusu gelir. Her yıl yaklaşık 2000 yeni teoremin kanıtlandığını düşünülürse, bu sorunun yanıtı ortaya çıkacaktır. Bir matematikçiye sorulan ikinci soru, "neden matematikle bu kadar ilgilisiniz?" olur. Bu sorunun yanıtı yine bir fıkra ile verilebilir.

Bir Rus matematikçiye "neden matematik yapıyorsunuz?" diye sormuşlar, üç nedenim var demiş; birincisi seviyorum, ikincisi bu işten para kazanıyorum, üçüncüsü ise yaptığım işin anavatanım denen yere hiç bir faydası yok.

Nurettin Çalışkan ncaliskan@dogus.edu.tr