BULANIK MANTIK MATEMATİĞİ BULANDIRIR MI?

_ Can Başkent



 

Hepimiz, örneğin 25’ten küçük doğal sayıların kümesini rahatlıkla yazabilir ve bu küme üzerinde, fonksiyon tanımlamak gibi, matematiksel işlemler gerçekleştirebiliriz. Aynı şekilde, apartmanımızda yaşayan evli çiftlerin sayısını da basit sayma işlemiyle bulabiliriz. Fakat iş küçük doğal sayıları belirlemeye ya da apartmanımızdaki mutlu evli çiftleri belirlemeye gelince…

1965’te İranlı bilgisayar ve elektronik bilimcisi Lütfü Askerzade (İngilizce metinlerde Lotfi A. Zadeh), Bulanık Kümeler (Fuzzy Sets) başlıklı bir makale yayınladı. Berkeley Kaliforniya Üniversitesi’nde profesör olan L. A. Zadeh, bu tarihin dört yıl öncesinde, 1961’de, yayımladığı bir makalesinde “olasılık dağılımıyla tanımlanamayan bulanık ya da belirsiz nicelikler için farklı bir matematiğe” ihtiyaç olduğunu yazıyordu. Çünkü, Zadeh doğadaki görüngülerin ve süreçlerin sonlu değerli mantıklaaçıklanamayacağını düşünüyordu. 1960’ların sonlarında Zadeh’nin makalesi kesinlik vurgusundan vazgeçmeyen bilimsel çevreler tarafından kabul görmemiş ve hatta ABD Kongresi’nde ABD Ulusal Bilim Vakfı (NSF – National Science Foundation) kaynaklarının boşa harcanmasına örnek olarak anılmıştı! 70’lerde ise Avrupalı ve özellikle Japonyalı bilim adamlarının bu konuda artan araştırmaları ve mühendislik uygulamaları sayesinde bulanık mantık ve bulanık kümeler kuramı artan hızla gelişti. Günümüzde bulanık mantık otomobillerin vites kutularından bulaşık makinelerine, elektronik devrelerin ve yapay zekanın karar verme algoritmalarına kadar oldukça kapsamlı teknik uygulamalara sahip; hatta Tokyo metrosu bulanık metro temelli bilgisayar ve mühendislik sistemleriyle işlemekte. Bilgisayar ve enformatik bilimleri, kontrol sistemleri, karar-alma algoritmaları bulanık mantığın yoğun olarak kullanıldığıalanlar olarak beliriyor. Şimdi, bulanık mantığın matematiksel temellerine göz atalım:

Bulanık mantıkta, ikili mantığın (ya da sonlu değerli mantıkların (1)) aksine, önermelerin doğruluk değeri sadece iki seçenekten (ya da sonlu değerlerden) biri olmak zorunda değildir. Biraz açalım: ikili mantıkta bir önermenin doğruluk değeri {0,1} kümesindendir (2), 0 yanlışı ve 1 doğruyu temsil etmektedir. Bulanık mantıkta ise önermelerin doğruluk değeri, tanımı gereği, [0,1] R kümesinden seçiliyor. Diğer bir deyişle, ya da 0.3 doğruluk değerine sahip önermeler mümkün kılınıyor. Bununla birlikte aynı uslamlamayı küme-eleman ilişkisine de uygulayabilmekteyiz. Klasik Cantor küme kuramında bir eleman ve küme arasındaki aidiyete dair ancak ve ancak iki farklı ilişki mümkündür. Bir eleman bir kümeye ya aittir, ya da değildir. Bulanık küme kuramı ise, öngörülebileceği üzere, bir elemanın kümeye aidiyetini derecelendirir. Bunu da, değer kümesi [0,1] R olan sürekli bir fonksiyon tanımlayarak yapar. [Bu fonksiyonun nasıl tanımlanabileceği bu yazının konusu dışında. Fakat, çalışılan konunun ve bilim dalının yöntemleriyle belirlendiğinibelirtmekle yetinelim.] Eğer bir eleman kesinlikle kümeye aitse, aidiyet fonksiyonu oeleman için 1 değeri alır, eğer eleman kesinlikle kümeye ait değilse de fonksiyonundeğeri 0 olur. Bu sürekli fonksiyon, yani aidiyet fonksiyonu, Ara Değer Teoremi gereği, elbette ki 0 ile 1 arasındaki gerçel say değerlerini de alacaktır. Dolayısıyla bir elemanın bir kümeye aidiyeti ya da 0.3 olarak derecelendirilebilir. Öte yandan, benzer şekilde P önermesinin değilinin doğruluk değeri ise 1 - P’dir.

Mantıksal bağlaçlar ? ve ? da bulanık mantıkta tanımlıdır.

ve de

olarak rahatlıkla tanımlanabilir. Dikkat edilirse bu tanım ikili Boolean mantığında da sağlamaktadır:

Bu bize Boolean mantığını genişleterek bulanık mantığa ulaşılabileceğine dair ipucu
vermekte.

Benzer bir şekilde iki küme arasındaki altküme ilişkisi de tanımlanabilir: Eğer A kümesini her elemanı için, o elemanın A’ya aidiyeti aynı elemanın B’ye aidiyetinden küçük ve eşitse; A, B’nin altkümesidir denir. Toparlayarak simgeleştirelim:

Bu tanımlar ışığında, temel kavramlar üzerine bazı soruları ve sorunları belirleyebiliriz:


1. Bir elemanın bir kümeye aidiyetini derecelendirmek, acaba bu eleman hakkında yeterli bilgimiz olmadığından mı kaynaklanıyor?


2. Hesaplamalarda kesinlik sağlanması çabası bulanık mantığın yeni ve devrimci bir mantık sistemi olmasını neden gerektirsin? Aslında yapılan önermelere doğruluk değeri atama çabasından ibarettir. Tamam, klasik mantıkçılar bununla ilgilenmiyordu; fakat bu sadece mühendislik ve bilgisayar bilimlerinin hesaplarında kesinlik sağlanmasını getirir; yeni bir mantığı değil.(3)


3. Bulanık mantık, çok-değerli mantığın genellemesinden ibarettir. Dolayısıyla, bir getirisi var mıdır? Ha 3 değişkenli mantık, ha bulanık mantık.. Sayıca artırabilecek soruları bu kadarla sınırlayalım. Zira, bu sorular bulanık mantıkla ilgili metinlerde sık sık sorulmaktadır.(4)


Matematik, verili koşullar altında çalışır, çıkarsamalar belirli şartlara bağlıdır. Bulanık mantık bu koşulları, gerçel sayı karşılıklı doğruluk değerleriyle daha belirgin yapmaya çalışırken ussal algımızı da geliştiriyor. Mutlak ve siyah-beyaz kriterler, gri olanlarıyla değiştiriliyor ve karşımıza bulutsu bir küme kavramını çıkıyor. Elemanların aidiyeti keskin sınırları olmayan bulutsu yapı içinde kalıyor.

Bulanık mantığa getirilen en önemli eleştiriler de bu noktada beliriyor. Bulanıklığın dış dünyaya ilişkin değil dile ilişkin bir sorun olduğu belirtiliyor bir çok eleştiride. Bugün gökyüzü mavi cümlesindeki bulanıklık, gökyüzünden değil, mavi sözcüğünün kastettiği anlamın bulanıklığından kaynaklanıyor. Eğer mavi sözcüğü, sözlüklerde belirli bir dalga boyundaki ışık olarak tanımlansaydı, yukarıdaki önerme üzerinde tartışmak anlamsız olacaktı, çünkü basit bir karşılaştırmayla gökyüzünün maviliğini saptayabilecektik. Bulanık mantığın ikili mantığın sıradan bir genelleştirilmesi mi, yoksa devrimci bir mantıksal yapı mı olduğunu zaman gösterecek sanırım. Fakat, bu hali bile beni heyecanlandırmaya yetiyor. Dolayısıyla dil var oldukça, bulanık mantığa da ihtiyacımız olacak gibi gözüküyor.

Kaynaklar:
1. Yen, J., Langari, R., Fuzzy Logic - Intelligence, Control, Information-,
Prentice Hall, Upper Saddle River, 1999
2. Ross, T., Fuzzy Logic with Engineering Applications, McGraw-Hill, New
York, 1995
3. Brule, J. F., Fuzzy systems - a tutorial,
http://www.austinlinks.com/Fuzzy/tutorial.html
Mart 2004, Ankara

Dipnotlar:
1 Örneğin üç değerli Lukasiewicz mantığı.
2 Örneğin üç değerli Lukasiewicz mantığında doğruluk değerleri {0, ½, 1} kümesindendir, ½ mümkün anlamına
gelir.
3 Bu konuya dikkatimi çeken hocam Samet Bağçe’ye teşekkürlerimi sunmayı borç bilirim.
4 Örneğin, 1 numaralı kaynakça.


canbaskent@yahoo.com
www.geocities.com/canbaskent


 




Can Başkent canbaskent@me.com
www.canbaskent.net Contact